SQL log

  | Savybė                     | Formulė                           |
  | :-------------------------- | :-------------------------------- |
  | Pagrindo plotas             | $$S_{pagr} = \pi r^2$$            |
  | Šoninio paviršiaus plotas | $$S_{šon} = \pi r l$$             |
  | Viso paviršiaus plotas    | $$S_{pav} = S_{pagr} + S_{šon} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$ |
  | Tūris                       | $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} S_{pagr} H$$ |
  
  *Čia $$r$$ – pagrindo spindulys, $$l$$ – sudaromoji, $$H$$ – aukštinė.*
  
  ##### Kūgio išklotinė
  
  | Elementas         | Aprašymas                                                                                                                               |
  | :---------------- | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
  | Pagrindas         | Skritulys, kurio spindulys $$r$$.                                                                                                        |
  | Šoninis paviršius | Skritulio išpjova, kurios spindulys lygus kūgio sudaromajai ($$l$$), o išpjovos lanko ilgis lygus kūgio pagrindo apskritimo ilgiui ($$C = 2 \pi r$$). |
  
  ##### Kūgio parametrų skaičiavimas (stačiajam kūgiui)
  
  *Stačiojo kūgio aukštinė ($$H$$), pagrindo spindulys ($$r$$) ir sudaromoji ($$l$$) sudaro statųjį trikampį.*
  
  | Žinomi parametrai                  | Ką galima apskaičiuoti (naudojant Pitagoro teoremą)                                                                                             | Formule (-ės)                                           |
  | :--------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------ |
  | Spindulys ($$r$$), aukštinė ($$H$$)    | Sudaromąją ($$l$$), paviršiaus plotą ($$S_{pav}$$), tūrį ($$V$$).                                                                                   | $$l = \sqrt{r^2 + H^2}$$                                |
  | Sudaromoji ($$l$$), aukštinė ($$H$$)    | Spindulį ($$r$$), paviršiaus plotą ($$S_{pav}$$), tūrį ($$V$$).                                                                                    | $$r = \sqrt{l^2 - H^2}$$                                |
  | Sudaromoji ($$l$$), spindulys ($$r$$)   | Aukštinę ($$H$$), paviršiaus plotą ($$S_{pav}$$), tūrį ($$V$$).                                                                                    | $$H = \sqrt{l^2 - r^2}$$                                |
  | Sudaromoji ($$l$$), spindulys ($$r$$), aukštinė ($$H$$) | Viso paviršiaus plotą ($$S_{pav}$$) ir tūrį ($$V$$).                                                                                       | Pagal pagrindines formules (žr. „Kūgio savybės“) |
  
  ##### Kūgio elementų radimas iš plotų
  
  | Žinomi plotai                     | Ką galima apskaičiuoti                                                                                             | Formulės                                                                       |
  | :-------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------- |
  | Šoninio ir viso paviršiaus plotai | Pagrindo plotą ($$S_{pagr}$$), pagrindo spindulį ($$r$$), sudaromąją ($$l$$).                                          | $$S_{pagr} = S_{pav} - S_{šon}$$; $$r = \sqrt{\frac{S_{pagr}}{\pi}}$$; $$l = \frac{S_{šon}}{\pi r}$$ |
  | Pagrindo plotas ($$S_{pagr}$$)       | Pagrindo spindulį ($$r$$).                                                                                          | $$r = \sqrt{\frac{S_{pagr}}{\pi}}$$                                              |
  | Šoninio pav. plotas ($$S_{šon}$$) ir spindulys ($$r$$) | Sudaromąją ($$l$$).                                                                                         | $$l = \frac{S_{šon}}{\pi r}$$                                                   |
  | Šoninio pav. plotas ($$S_{šon}$$) ir sudaromoji ($$l$$) | Spindulį ($$r$$).                                                                                         | $$r = \frac{S_{šon}}{\pi l}$$                                                   |
  
  ##### Kūgio tūrio kitimas keičiant matmenis
  
  *Kūgio tūris $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$$.*
  
  | Veiksmas su matmeniu        | Tūrio ($$V$$) pokytis                                                                           | Paaiškinimas         |
  | :-------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------- | :------------------- |
  | Spindulį ($$r$$) padidinus $$k$$ kartų | Tūris padidėja $$k^2$$ kartų. (Pvz., padidinus $$r$$ 2 kartus, $$V$$ padidėja $$2^2=4$$ kartus). | $$V \propto r^2$$    |
  | Spindulį ($$r$$) sumažinus $$k$$ kartų | Tūris sumažėja $$k^2$$ kartų. (Pvz., sumažinus $$r$$ 3 kartus, $$V$$ sumažėja $$3^2=9$$ kartus). | $$V \propto r^2$$    |
  | Aukštinę ($$H$$) padidinus $$k$$ kartų | Tūris padidėja $$k$$ kartų. (Pvz., padidinus $$H$$ 2 kartus, $$V$$ padidėja 2 kartus).      | $$V \propto H$$      |
  | Aukštinę ($$H$$) sumažinus $$k$$ kartų | Tūris sumažėja $$k$$ kartų. (Pvz., sumažinus $$H$$ 3 kartus, $$V$$ sumažėja 3 kartus).      | $$V \propto H$$      |
  
  ##### Aukštinės radimas iš tūrio
  
  | Žinomas kūgio tūris ($$V$$) ir... | Formulė aukštinei ($$H$$) apskaičiuoti                                                            | Pastabos                                                   |
  | :-------------------------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------- | :--------------------------------------------------------- |
  | Spindulio ilgis ($$r$$)           | $$H = \frac{3V}{\pi r^2}$$                                                                           | Išreiškiama iš tūrio formulės.                           |
  | Pagrindo plotas ($$S_{pagr}$$)      | $$H = \frac{3V}{S_{pagr}}$$                                                                          | Naudojama formulė $$V = \frac{1}{3}S_{pagr}H$$.           |
  | Pagrindo apskritimo ilgis ($$C$$) | $$H = \frac{12 \pi V}{C^2}$$                                                                         | Pirmiausia randamas $$r = \frac{C}{2\pi}$$, tada statoma į $$H = \frac{3V}{\pi r^2}$$. |
  
  ##### Pagrindinės sąvokos
  
  | Sąvoka         | Apibrėžimas                                                                                         |
  | :------------- | :-------------------------------------------------------------------------------------------------- |
  | Kūgis          | Geometrinis kūnas, gautas sukant statųjį trikampį apie vieną iš jo statinių.                        |
  | Pagrindas      | Skritulys, apie kurio kraštą (apskritimą) sukasi stataus trikampio įžambinė.                       |
  | Viršūnė        | Taškas, esantis priešais pagrindą; taškas, kuriame susikerta visos kūgio sudaromosios.            |
  | Aukštinė ($$H$$) | Stačiojo kūgio atveju – atkarpa (ir jos ilgis), jungianti kūgio viršūnę su pagrindo centru ir statmena pagrindui. |
  | Sudaromoji ($$l$$) | Atkarpa (ir jos ilgis), jungianti kūgio viršūnę su bet kuriuo pagrindo apskritimo tašku.             |
  | Spindulys ($$r$$)  | Kūgio pagrindo skritulio spindulys (ir jo ilgis).                                                   |
  | Ašis           | Stačiojo kūgio atveju – tiesė, einanti per kūgio viršūnę ir pagrindo centrą.                      |' (Size = -1), @p2='##### Kūgio elementai ir išklotinė
  
  | Elementas / Sąvoka | Paaiškinimas                                                                                                  |
  | :----------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
  | **Kūgis**          | Geometrinis kūnas, gaunamas sukant statųjį trikampį apie vieną iš jo statinių.                                  |
  | **Pagrindas**      | Skritulys, kurio spindulys yra `r`.                                                                          |
  | **Aukštinė (H)**   | Statmens atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su pagrindo centru.                                                  |
  | **Sudaromoji (l)** | Atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su bet kuriuo pagrindo apskritimo tašku.                                        |
  | **Šoninis paviršius** | Kreivas paviršius, jungiantis viršūnę su pagrindo apskritimu; išklotinėje – skritulio išpjova.                  |
  | **Išklotinė**      | Plokštumos figūra, gauta išskleidus kūgio paviršių; sudaryta iš skritulio (pagrindo) ir skritulio išpjovos (šoninio paviršiaus). |
  | **Ryšys**          | Aukštinę (`H`), spindulį (`r`) ir sudaromąją (`l`) sieja Pitagoro teorema: $$l^2 = H^2 + r^2$$                   |
  
  ##### Kūgio ploto ir tūrio formulės
  
  | Plotas / Tūris           | Formulė                                                              | Paaiškinimas                                                                               |
  | :----------------------- | :------------------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------- |
  | **Pagrindo plotas**      | $$S_{pagr} = \pi r^2$$                                               | Kūgio pagrindas yra skritulys.                                                             |
  | **Šoninio paviršiaus plotas** | $$S_{šon} = \pi r l$$                                                | Plotas kreivojo paviršiaus, kur `r` – pagrindo spindulys, `l` – sudaromoji.               |
  | **Viso paviršiaus plotas** | $$S_{pav} = S_{pagr} + S_{šon} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$ | Bendra pagrindo ir šoninio paviršiaus plotų suma.                                          |
  | **Tūris**                | $$V = \frac{1}{3} S_{pagr} H = \frac{1}{3} \pi r^2 H$$                 | Trečdalis pagrindo ploto ir aukštinės sandaugos.                                           |
  
  ##### Kūgio parametrų skaičiavimo atvejai
  
  | Situacija                                                | Skaičiuojamas dydis | Reikalingi duomenys                                                                                               |
  | :------------------------------------------------------- | :------------------ | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
  | Sukamas statusis trikampis apie statinį                  | Kūgio tūris (`V`)     | Stačiojo trikampio statinių ilgiai (vienas tampa spinduliu `r`, kitas – aukštine `H`).                      |
  | Žinomi plotai                                            | Elementai (`r`, `l`)  | Šoninio paviršiaus plotas ($$S_{šon}$$) ir viso paviršiaus plotas ($$S_{pav}$$). Iš jų randamas pagrindo plotas ($$S_{pagr}$$). |
  | Žinomas tūris ir pagrindo parametras                     | Aukštinė (`H`)      | Tūris (`V`) ir pagrindo spindulys (`r`), arba pagrindo apskritimo ilgis ($$C = 2 \pi r$$), arba pagrindo plotas ($$S_{pagr}$$). |
  | Sukamas lygiašonis statusis trikampis apie simetrijos ašį | Kūgio tūris (`V`)     | Trikampio įžambinės ilgis (pusė įžambinės tampa spinduliu `r`, kita pusė – aukštine `H`).                 |
  
  ##### Kūgio tūrio priklausomybė nuo matmenų
  
  | Parametro keitimas (kiti nekinta) | Tūrio pokytis                                     | Pastaba                                                                                                                              |
  | :-------------------------------- | :------------------------------------------------ | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
  | Pagrindo spindulys (`r`) padidėja `k` kartų | Tūris (`V`) padidėja $$k^2$$ kartų | Tūris yra tiesiogiai proporcingas pagrindo spindulio kvadratui ($$V \propto r^2$$). Pvz., jei `r` padvigubėja, `V` padidėja 4 kartus. |
  | Aukštinė (`H`) padidėja `k` kartų     | Tūris (`V`) padidėja `k` kartų        | Tūris yra tiesiogiai proporcingas aukštinei ($$V \propto H$$).                                                                           |' (Size = -1), @p3='False', @p4='False' (Nullable = true), @p5='' (Size = 4000), @p6=NULL (DbType = Guid), @p7='beebab59-e375-a9e0-0f78-746cf11747d3' (Nullable = true), @p8=NULL (Size = 4000), @p9='Sukurk išsamų paaiškinimą lietuvių kalba apie kūgio geometriją, paviršiaus plotą ir tūrį. Paaiškinimas turi apimti šias dalis:
  1.  **Kas yra kūgis?** Pateik apibrėžimą ir reikšmę.
  2.  **Pagrindiniai kūgio elementai:** Apibrėžk pagrindą, spindulį (r), viršūnę, aukštinę (H) ir sudaromąją (l).
  3.  **Ryšys tarp r, H ir l:** Paaiškink Pitagoro teoremos taikymą ir pateik formules l, r ir H radimui, kai kiti du elementai žinomi.
  4.  **Kūgio išklotinės analizė:** Aprašyk kūgio išklotinę, susidedančią iš pagrindo (skritulio) ir šoninio paviršiaus (skritulio išpjovos), nurodydamas išpjovos spindulį ir lanko ilgį.
  5.  **Kūgio paviršiaus ploto skaičiavimas:** Pateik formules ir paaiškinimus šoninio paviršiaus plotui (S(šon) = πrl), pagrindo plotui (S(pagr) = πr^2) ir viso paviršiaus plotui (S(pav) = S(pagr) + S(šon) = πr(r + l)).
  6.  **Kūgio tūrio apskaičiavimas:** Pateik tūrio formulę (V = 1/3 * S(pagr) * H = 1/3 * πr^2 * H) ir paaiškink sąsają su piramidės tūriu.
  7.  **Kūgiai, gaunami sukant figūras:** Paaiškink, kaip kūgis gaunamas sukant statųjį trikampį apie vieną iš jo statinių.
  8.  **Uždavinių sprendimo pavyzdžiai:** Pateik ir išspręsk šiuos 5 pavyzdžius:
      *   Apskaičiuoti S(šon), S(pav), V, kai r = 6 cm, H = 8 cm.
      *   Rasti r ir l, kai S(šon) = 15π m², S(pav) = 24π m².
      *   Kaip pasikeis V, jei H padidinsime 2 kartus, o r sumažinsime 2 kartus?
      *   Apskaičiuoti V kūgio, gauto sukant statųjį trikampį (statiniai 5 cm ir 12 cm) apie trumpesnįjį statinį.
      *   Rasti H, kai V = 100π cm³, o pagrindo apskritimo ilgis C = 10π cm.
  9.  **Praktinis kūgio sąvokos taikymas:** Paminėk keletą pavyzdžių inžinerijoje, kasdieniame gyvenime ir gamyboje.
  10. **Santrauka (Cheatsheet):** Sukurk lenteles, apibendrinančias: pagrindinius elementus, ryšį tarp r, H, l, paviršiaus ploto formules, tūrio formulę, kūgio gavimą sukant figūras ir pagrindinių sąvokų apibrėžimus.' (Size = 4000), @p10='Matematika / Matematika visiems 7 klasė / Vadovėlis 2 dalis' (Size = 1000), @p11='matematika matematika visiems 7 klase vadovelis 2 dalis' (Size = 1000), @p12='63d6eb4e-8e39-4ac6-8f69-55ee76feccce', @p13='False' (Nullable = true), @p14='' (Size = 4000), @p15='# Kūgis
  
  ## Kūgio Išklotinė ir Paviršiaus Plotas
  
  Paimkime popierinę kūgio formos dėžutę ir išskleiskime ją ant stalo. Gauname kūgio išklotinę, kurią sudaro skritulys (kūgio pagrindas) ir skritulio dalis (kūgio šoninis paviršius).
  
  Kūgio šoninis paviršius yra skritulio dalis, apribota dviem spinduliais, kurių ilgis lygus kūgio sudaromajai (l), ir apskritimo lanku, kurio ilgis lygus kūgio pagrindo apskritimo ilgiui (2πr).
  
  Skritulio, kurio spindulio ilgis yra l, plotas lygus πl², o viso lanko ilgis lygus 2πl. Skritulio dalis, kurios lanko ilgis yra 2πr, sudaro r/l dalį viso skritulio lanko ilgio. Tuomet tos skritulio dalies plotas lygus (r/l) * πl² = πrl.
  
  Taigi, kūgio:
  
  *   Šoninio paviršiaus plotas: S(šon) = πrl
  *   Viso paviršiaus plotas: S(pav) = S(pagr) + S(šon) = πr² + πrl = πr(r + l)
  
  ## Kūgio Tūris
  
  Kūgio tūris skaičiuojamas panašiai kaip taisyklingosios piramidės tūris. Jis lygus kūgio pagrindo ploto ir kūgio aukštinės ilgio sandaugos trečdaliui:
  
  V = (1/3) * S(pagr) * H = (1/3)πr²H
  
  Kūgio, kurio spindulio ilgis yra r, aukštinės ilgis yra H, o sudaromosios ilgis yra l, savybės:
  
  *   Šoninio paviršiaus plotas: S(šon) = πrl
  *   Viso paviršiaus plotas: S(pav) = πr(r + l)
  *   Tūris: V = (1/3)πr²H
  
  ## Pavyzdžiai ir Savybės
  
  **Pavyzdys 1:**
  
  Statusis trikampis, kurio statinių ilgiai yra 3 cm ir 4 cm, o įžambinės ilgis yra 5 cm, sukamas apie kiekvieną statinį. Apskaičiuojamas gautų kūgių tūris.
  
  **Pavyzdys 2:**
  
  Jeigu kūgio pagrindo plotas ir šoninio paviršiaus plotas yra žinomi, tai galima rasti kūgio viso paviršiaus plotą.
  
  **Kūgio tūrio kitimas:**
  Keičiant kūgio pagrindo spindulį, kūgio tūris kinta. Pvz., padidinus spindulį 2 kartus, tūris padidėja. Sumažinus spindulį 3 kartus, tūris sumažėja.
  
  ## Užduočių Sprendimai, Naudojant Brėžinius
  
  Remiantis brėžiniais, galima apskaičiuoti įvairius kūgio parametrus:
  
  1.  **Pagrindo plotas:** Apskaičiuojamas pagal formulę S(pagr) = πr².
  2.  **Tūris:** Apskaičiuojamas pagal formulę V = (1/3)πr²H.
  3.  **Šoninio paviršiaus plotas:** Apskaičiuojamas pagal formulę S(šon) = πrl.
  4.  **Viso paviršiaus plotas:** Apskaičiuojamas pagal formulę S(pav) = πr(r + l).
  
  ## Kūgio Parametrų Skaičiavimas
  
  Galima apskaičiuoti kūgio viso paviršiaus plotą ir tūrį, žinant:
  
  *   sudaromąją (l), spindulį (r) ir aukštinę (H).
  *	spindulį (r) ir aukštinę (H), o sudaromąją (l) išreiškiant per H.
  *	sudaromąją (l) ir aukštinę (H), o spindulį (r) išreiškiant per H.
  
  ## Kūgio Elementų Radimas iš Plotų
  
  Žinant kūgio šoninio paviršiaus plotą ir viso paviršiaus plotą, galima apskaičiuoti:
  
  1.  **Pagrindo plotą:** S(pagr) = S(pav) - S(šon).
  2.  **Pagrindo spindulio ilgį:** r = √ (S(pagr) / π).
  3.  **Sudaromosios ilgį:** l = S(šon) / (πr).
  
  ## Tūrio Skaičiavimas, Sukant Trikampį
  
  Lygiašonis statusis trikampis, sukamas apie simetrijos ašį, sudaro kūgį. Žinant trikampio įžambinės ilgį, galima apskaičiuoti gauto kūgio tūrį.
  
  ## Aukštinės Radimas iš Tūrio
  
  Žinant kūgio tūrį, galima apskaičiuoti kūgio aukštinės ilgį, jei žinomas kūgio pagrindo:
  
  *   spindulio ilgis.
  *   apskritimo ilgis.
  *   plotas.
  
  ## Tūrio Skaičiavimas, Sukant Statųjį Trikampį
  Stačiojo trikampio plotas ir vieno statinio ilgis leidžia apskaičiuoti kūgio, gauto sukant šį trikampį apie statinį, tūrį.
  
  ## Praktiniai Taikymai
  Kūgio formos objektų tūrio skaičiavimas gali būti taikomas praktikoje, pvz., skaičiuojant pieštuko tūrį ar ledų kiekį kūgio formos indelyje. Svarbūs parametrai:
  - Pieštuko ilgis, skersmuo ir kūginės dalies aukštis.
  - Kūginio indelio skersmuo, aukštis, medžiagos tankis.
  ' (Size = 4000), @p16='Kūgio paviršiaus plotas ir tūris' (Size = 2000), @p17='Ritinys ir kūgis / Kūgio paviršiaus plotas ir tūris' (Size = 4000), @p18='ritinys ir kugis kugio pavirsiaus plotas ir turis' (Size = 2000), @p19='4', @p20='0', @p21='1', @p22='2', @p23=NULL (DbType = DateTime2)], CommandType='Text', CommandTimeout='30']
  SET IMPLICIT_TRANSACTIONS OFF;
  SET NOCOUNT ON;
  UPDATE [Scanners] SET [Active] = @p0, [CheatSheet] = @p1, [CheatSheet2] = @p2, [Deleted] = @p3, [FactErrors] = @p4, [FactErrorsExplanation] = @p5, [ParentCategory2Id] = @p6, [ParentCategoryId] = @p7, [ProcessorGenerateImagePrompt] = @p8, [Prompt] = @p9, [Reference] = @p10, [ReferenceSlug] = @p11, [SiteId] = @p12, [SpellingErrors] = @p13, [SpellingErrorsExplanation] = @p14, [Summary] = @p15, [Title] = @p16, [TitleBackup] = @p17, [TitleSlug] = @p18, [TotalCards] = @p19, [TotalCards2] = @p20, [TotalCategories] = @p21, [TotalPages] = @p22, [Verified] = @p23
  OUTPUT 1
  WHERE [Id] = @p24;