Iracionalioji lygtis yra tokia lygtis, kurioje nežinomasis yra po šaknies ženklu arba keliamas trupmeniniu laipsnio rodikliu. Pavyzdžiui, \(\sqrt{(2x^2 - 5)} + x = 12\) arba \(\sqrt[3]{(91 - x)} = 0\). Bendrosios formos gali būti \(\sqrt{f(x)} = g(x)\), \(\sqrt{f(x)} * g(x) = 0\), arba \(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = a\).

Pavyzdys 1: \(x + 1 = \sqrt{(2x + 5)}\). Keliame abi puses kvadratu: \((x + 1)^2 = (\sqrt{(2x + 5)})^2\). Gauname: \(x^2 + 2x + 1 = 2x + 5\). Supaprastiname: \(x^2 = 4\). Sprendiniai: \(x_1 = -2, x_2 = 2\). Patikrinimas rodo, kad tinka tik \(x_2 = 2\). Pavyzdys 2: \((x^2 - 9)\sqrt{(2 - x)} = 0\). Ši lygtis yra ekvivalenti sistemų visumai: \(\begin{cases} x^2 - 9 = 0, \\ 2 - x \geq 0 \end{cases}\) arba \(\begin{cases} 2 - x = 0; \\ x \in D(f) \end{cases}\). Išsprendę gauname atsakymą: \(\{-3; 2\}\).

Norint išspręsti iracionaliąją lygtį, reikia atlikti šiuos veiksmus: 1. Izoliuoti šaknį: pertvarkyti lygtį taip, kad reiškinys su \(n\)-tojo laipsnio šaknimi būtų vienoje lygybės pusėje, o visi kiti nariai – kitoje (\(\sqrt{f(x)} = g(x)\)). 2. Kelti laipsniu: abi lygties puses pakelti tuo pačiu laipsniu \(n\) (\((\sqrt{f(x)})^n = (g(x))^n\)). 3. Išspręsti lygtį: išspręsti gautąją lygtį (\(f(x) = g(x)^n\)).

Sprendžiant iracionaliąsias lygtis, praverčia šios formulės: 1. Dvinarį keliant kvadratu: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). 2. Dvinarį keliant kubu: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).

Jei lygtyje yra dvi kvadratinės šaknys su algebriniais reiškiniais pošakniuose, lygtį kelti kvadratu reikia du kartus. Jei po pertvarkymo gauname \(\sqrt[n]{f(x)} = a\), kur \(a < 0\) ir \(n\) yra lyginis skaičius, lygtis sprendinių neturi. Sprendžiant lygtis su lyginio laipsnio šaknimi, gali atsirasti pašalinių sprendinių, todėl būtinas patikrinimas. Gautus sprendinius reikia įstatyti į pradinę lygtį ir patikrinti, ar gaunama teisinga skaitinė lygybė.