Geometrinė progresija

Šioje temoje nagrinėjama geometrinė progresija – skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas ankstesnį narį padauginus iš pastovaus skaičiaus. Aptariami progresijos tipai, pateikiamos n-tojo nario ir rekurentinės formulės, bei pavyzdžiai. Taip pat mokoma, kaip nustatyti ar seka yra geometrinė progresija ir kaip pritaikyti šias žinias praktinėse užduotyse.

Geometrinės progresijos apibrėžimas
Geometrinė progresija yra skaičių seka \((bₙ)\), kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra gaunamas padauginus ankstesnį narį iš pastovaus skaičiaus \(q\) (\(q \neq 0\)), vadinamo geometrinės progresijos vardikliu. Pavyzdžiui, seka 2, 4, 8, 16... yra geometrinė progresija, kurios vardiklis yra 2. Formaliai, seka \((bₙ)\) yra geometrinė progresija, jei egzistuoja toks skaičius \(q \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), kad \(b_{n+1} = b_nq\), kai \(n \in \mathbb{N}\). Vardiklis apskaičiuojamas: \(q = b_{n+1} / b_n\), kai \(b_n \neq 0\), \(n \in \mathbb{N}\).
Geometrinės progresijos formulės
Pagrindinės geometrinės progresijos formulės yra n-tojo nario formulė ir rekurentinė formulė. n-tojo nario formulė: \(b_n = b_1q^{n-1}\), kur \(b_1\) – pirmasis narys, \(q\) – vardiklis, \(n\) – nario numeris. Rekurentinė formulė: \(b_{n+1} = b_nq\), \(n \in \mathbb{N}\).
Geometrinės progresijos taikymas
Geometrinė progresija taikoma įvairiose srityse. Finansuose – skaičiuojant atlyginimų augimą, infliaciją. Biologijoje – modeliuojant bakterijų populiacijos kitimą. Turto vertės skaičiavime – nustatant, kaip keičiasi turto vertė laikui bėgant. Pvz., jei minimalus atlyginimas kasmet didėja 10%, tai po penkerių metų jis bus lygus pradinei vertei, padaugintai iš \(1.1\) pakelto ketvirtuoju laipsniu (\(b_5 = b_1 * 1.1^4\)). Bakterijų populiacijos mažėjimas 3 kartus kas 6 valandas, reiškia kad populiacija per parą bus lygi pradinei vertei, padaugintai iš \((1/3)\) pakelta ketvirtuoju laipsniu.
Geometrinės progresijos tipai
Geometrinės progresijos skirstomos į kelis tipus, priklausomai nuo pirmojo nario (\(b_1\)) ir vardiklio (\(q\)) reikšmių: didėjančiosios (\(b_1 > 0\) ir \(q > 1\) arba \(b_1 < 0\) ir \(0 < q < 1\)), mažėjančiosios (\(b_1 < 0\) ir \(q > 1\) arba \(b_1 > 0\) ir \(0 < q < 1\)), pastoviosios (\(q = 1\)), ir alternuojančios (\(q < 0\)).
Sekos geometrinės progresijos įrodymas
Norint įrodyti, kad seka \((bₙ)\) yra geometrinė progresija, reikia parodyti, kad bet kurių dviejų gretimų narių santykis yra pastovus: \(b_{n+1} / b_n = q\) (konstanta) visiems \(n \in N\). Pavyzdžiui, seka \(b_n = 2 * 3ⁿ\) yra geometrinė progresija, nes \(b_{n+1} / b_n = (2 * 3^{n+1}) / (2 * 3^n) = 3\), kas yra pastovus skaičius.

Prisijungti

arba
Real 2
„X“ yra inovatyvi mokymosi platforma, kurios tikslas – teikti aukštos kokybės mokymo medžiagą įvairiausių klasių mokiniams. Patyrusių specialistų parengtas turinys skatina smalsumą, padeda išsamiau ir giliau suprasti mokomus dalykus bei sėkmingai pasiruošti akademiniams iššūkiams.
Atsisiųsk programėlę:
Susisiek su mumis: info@knowledgenestapp.com