Aritmetinė progresija

Šioje temoje nagrinėjama aritmetinė progresija – skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas prie prieš jį esančio nario pridėjus tą patį skaičių (progresijos skirtumą). Mokomasi atpažinti aritmetines progresijas, taikyti n-tojo nario formulę (aₙ = a₁ + d(n - 1)) ir spręsti įvairius su jomis susijusius uždavinius. Taip pat susipažįstama, kaip įrodyti, kad seka yra aritmetinė progresija.

Aritmetinė progresija: apibrėžimas ir skirtumas
Aritmetinė progresija yra skaičių seka \((aₙ)\), kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra gaunamas prie ankstesniojo nario pridedant pastovų skaičių, vadinamą progresijos skirtumu (žymima \(d\)). Pirmasis sekos narys žymimas \(a₁\). Formaliai, seka \((aₙ)\) yra aritmetinė progresija, jei egzistuoja toks skaičius \(d\), kad su kiekvienu natūraliuoju \(n\) galioja lygybė \(aₙ₊₁ - aₙ = d\). Lygybė \(aₙ₊₁ = aₙ + d\) vadinama rekurentine aritmetinės progresijos formule.
Aritmetinės progresijos apibrėžimas
Aritmetinė progresija – tai skaičių seka, kurioje skirtumas tarp bet kurių dviejų gretimų narių yra pastovus. Šis pastovus skirtumas vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu (\(d\)). Pavyzdžiui, seka 7, 9, 11, 13 yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas yra 2.
Aritmetinės progresijos n-tojo nario formulė
Bet kurį aritmetinės progresijos narį \(aₙ\) galima rasti naudojant n-tojo nario formulę, kuri išreiškia narį per pirmąjį narį \(a₁\), progresijos skirtumą \(d\) ir nario eilės numerį \(n\). Formulė yra: \(aₙ = a₁ + d(n - 1)\). Ši formulė leidžia apskaičiuoti bet kurį narį, nežinant visų prieš jį einančių narių. Norint įrodyti, kad duota seka yra aritmetinė progresija, reikia patikrinti, ar skirtumas \(aₙ₊₁ - aₙ\) yra konstanta visiems natūraliesiems \(n\).
Aritmetinės progresijos n-tojo nario formulė
Aritmetinės progresijos \(n\)-tasis narys gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę: \(a_n = a_1 + d(n - 1)\), kur \(a_1\) – pirmasis narys, \(d\) – skirtumas, \(n\) – nario eilės numeris. Ši formulė išvedama sudėjus lygybes \(a_2 - a_1 = d, a_3 - a_2 = d, ..., a_n - a_{n-1} = d\).
Aritmetinės progresijos savybių taikymas
Naudojant \(n\)-tojo nario formulę, bet kurį aritmetinės progresijos narį galima išreikšti pirmuoju nariu ir skirtumu. Pavyzdžiui, \(a_{15} = a_1 + 14d\). Norint įrodyti, kad seka yra aritmetinė progresija, reikia parodyti, kad bet kurių dviejų gretimų narių skirtumas yra pastovus: \(a_{n+1} - a_n = d\), su kiekvienu \(n \in N\).
Rekurentinė aritmetinės progresijos formulė
Aritmetinė progresija taip pat gali būti apibrėžta rekurentiškai: \(a_{n+1} = a_n + d\). Tai reiškia, kad kiekvienas narys yra lygus prieš jį einančiam nariui, pridėjus progresijos skirtumą \(d\). Pirmasis narys (\(a_1\)) turi būti apibrėžtas atskirai.
Uždavinių sprendimas su aritmetinėmis progresijomis
Aritmetinės progresijos teorija taikoma įvairiems uždaviniams spręsti. Tai apima pirmojo nario ir skirtumo radimą, narių išreiškimą pirmuoju nariu ir skirtumu, \(n\)-tojo nario formulės radimą, sekų analizę, skaičių įrašymą į progresiją, nario buvimo progresijoje tikrinimą, įvairių narių skaičiavimą, rekurentinių formulių analizę, narių radimą iš duotų sąlygų, narių skaičiaus intervale radimą, natūraliųjų ir neigiamų narių skaičiaus radimą bei realaus gyvenimo situacijų modeliavimą (pvz., atstumo, atlyginimo skaičiavimas).

Prisijungti

arba
Real 2
„X“ yra inovatyvi mokymosi platforma, kurios tikslas – teikti aukštos kokybės mokymo medžiagą įvairiausių klasių mokiniams. Patyrusių specialistų parengtas turinys skatina smalsumą, padeda išsamiau ir giliau suprasti mokomus dalykus bei sėkmingai pasiruošti akademiniams iššūkiams.
Atsisiųsk programėlę:
Susisiek su mumis: info@knowledgenestapp.com