Logaritminės lygtys – tai lygtys, kuriose nežinomasis yra logaritmo argumente arba (ir) logaritmo pagrinde. Jos apibrėžiamos bendruoju pavidalu: \(\log_{g(x)}f(x) = c\), kur \(f(x)\) ir \(g(x)\) yra racionalieji reiškiniai, tenkinantys sąlygas \(f(x) > 0, g(x) > 0, g(x) \ne 1\), o \(c\) yra bet koks realusis skaičius.

Logaritminės lygtys yra plačiai taikomos įvairiose srityse, sprendžiant problemas, susijusias su kiekybiniu augimu, kitimu ar matavimu. Šios sritys apima populiacijų augimo modeliavimą, cheminių reakcijų kinetikos analizę, duomenų perdavimo spartos skaičiavimus, finansinius modelius (pvz., sudėtinių palūkanų skaičiavimus), terpės rūgštingumo (\(pH\)) nustatymą, garso intensyvumo (decibelais) matavimą ir žemės drebėjimų stiprumo (pagal Richterio skalę) vertinimą.

Sprendžiant logaritmines lygtis ir atliekant su jomis susijusius skaičiavimus, labai svarbu žinoti ir taikyti pagrindines logaritmų savybes. Šios savybės leidžia pertvarkyti ir supaprastinti logaritminius reiškinius.

Logaritminės lygtys, turinčios pavidalą \(a\log^2_ax + b\log_ax + c = 0\), gali būti efektyviai sprendžiamos įvedant keitinį: \(\log_ax = y\). Šis keitinys transformuoja logaritminę lygtį į kvadratinę lygtį, kurią galima išspręsti įprastais metodais (pvz., naudojant diskriminantą). Išsprendus kvadratinę lygtį ir radus '\(y\)' reikšmes, grįžtama prie pradinio keitinio ir randamos '\(x\)' reikšmės. Svarbu nepamiršti patikrinti gautų '\(x\)' reikšmių.

Vienas iš logaritminių lygčių sprendimo būdų yra tiesioginis logaritmo apibrėžties taikymas. Lygtis \(\log_{g(x)} f(x) = c\) pertvarkoma į eksponentinę lygtį \(f(x) = (g(x))^c\). Sprendžiant šiuo metodu, būtina atlikti gautų sprendinių patikrinimą, siekiant įsitikinti, kad jie tenkina pradinės lygties apibrėžimo sritį ir neįveda pašalinių sprendinių. Patikrinimas apima dvi dalis: 1) ar gauta nežinomojo reikšmė tenkina nelygybių sistemą: \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\), \(g(x) \ne 1\); 2) ar gauta reikšmė, įstatyta į pradinę lygtį, duoda teisingą lygybę.

Kai logaritminėje lygtyje yra logaritmai su skirtingais pagrindais, naudojama logaritmų pagrindų keitimo savybė: \(\log_a b = (\log_c b) / (\log_c a)\). Ši savybė leidžia visus logaritmus išreikšti per vieną, pasirinktą pagrindą (pvz., 2, 10 arba \(e\)), ir tada spręsti lygtį įprastais metodais.

Jei logaritminė lygtis turi pavidalą \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\), kur abiejose lygties pusėse yra logaritmai su tuo pačiu pagrindu '\(a\)', tai lygtis supaprastinama iki \(f(x) = g(x)\). Tačiau, kaip ir sprendžiant remiantis logaritmo apibrėžtimi, būtina patikrinti gautus sprendinius, įsitikinant, kad jie tenkina pradinės lygties apibrėžimo sritį.