Geometrinė progresija ir jos savybė

Šioje temoje susipažįstama su geometrinėmis progresijomis, jų savybėmis ir apibrėžimais. Mokomasi atpažinti geometrinę progresiją, rasti jos vardiklį, n-tąjį narį bei taikyti viduriniojo nario savybę. Taip pat nagrinėjama, kaip spręsti uždavinius, susijusius su geometrine progresija.

Charakteringoji geometrinės progresijos savybė
Kiekvieno geometrinės progresijos nario \(b_n\) (išskyrus pirmąjį, o baigtinėje progresijoje – ir paskutinį) kvadrato reikšmė yra lygi jam iš abiejų pusių vienodai nutolusių narių sandaugai. Paprasčiausiu atveju, tai yra kaimyninių narių sandauga: \(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\). Bendresniu atveju, jei nariai nutolę per \(k\) pozicijų: \(b_n^2 = b_{n-k} \cdot b_{n+k}\) (su sąlyga, kad \(n > k \ge 1\) ir atitinkami nariai egzistuoja). Iš čia seka, kad nario modulis yra geometrinis vidurkis tarp jam simetriškų narių: \(|b_n| = \sqrt{b_{n-k} \cdot b_{n+k}}\).
Geometrinė progresija
Geometrinė progresija – tai skaičių seka \((b_n)\), kurioje pirmasis narys \((b_1)\) nėra lygus nuliui, o kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas padauginus prieš jį esantį narį iš pastovaus skaičiaus \(q\) (\(q \neq 0\)). Šis skaičius \(q\) vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Seka gali būti baigtinė (pvz., 5, 10, 20, ..., 640) arba begalinė (pvz., 5, 10, 20, ...).
Geometrinė progresija: Apibrėžimas ir vardiklis
Geometrinė progresija \((b_n)\) yra skaičių seka, kurios pirmasis narys \(b_1 \neq 0\), o kiekvienas sekantis narys (pradedant antruoju) gaunamas padauginus prieš jį einantį narį iš to paties, nelygaus nuliui, skaičiaus \(q\). Šis skaičius \(q\) vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Progresija gali būti baigtinė arba begalinė. Vardiklis apskaičiuojamas pagal formulę \(q = \frac{b_{n+1}}{b_n}\), kur \(n \in \mathbb{N}\).
Geometrinės progresijos n-tojo nario formulė
Norint rasti bet kurį geometrinės progresijos \((b_n)\) narį, naudojama n-tojo nario formulė, kuri išreiškia \(n\)-tąjį narį \(b_n\) per pirmąjį narį \(b_1\) ir vardiklį \(q\): \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Čia \(n\) yra nario eilės numeris sekoje, natūralusis skaičius (\(n \in \mathbb{N}\)).
Geometrinės progresijos n-tojo nario formulė
Norint rasti bet kurį geometrinės progresijos narį, naudojama n-tojo nario formulė: \(b_n = b_1 * q^{n-1}\), kur \(b_1\) yra pirmasis progresijos narys, \(q\) – progresijos vardiklis, o \(n\) – ieškomo nario numeris. Pavyzdžiui, antrasis narys (\(n=2\)) apskaičiuojamas: \(b_2 = b_1 * q^{2-1} = b_1 * q\), o trečiasis narys (\(n=3\)): \(b_3 = b_1 * q^{3-1} = b_1 * q^2\).
Geometrinės progresijos savybė
Geometrinės progresijos (\(b_n\)) viduriniojo nario savybė teigia, kad bet kurio nario kvadratas yra lygus gretimų narių sandaugai: \(b_n^2 = b_{n-1} * b_{n+1}\). Bendresniu atveju, \(b_n^2 = b_{n-k} * b_{n+k}\), arba \(|b_n| = \sqrt{(b_{n-1} * b_{n+1})} = \sqrt{(b_{n-k} * b_{n+k})}\), kur \(k\) ir \(n\) yra natūralieji skaičiai.

Prisijungti

arba
Real 2
„X“ yra inovatyvi mokymosi platforma, kurios tikslas – teikti aukštos kokybės mokymo medžiagą įvairiausių klasių mokiniams. Patyrusių specialistų parengtas turinys skatina smalsumą, padeda išsamiau ir giliau suprasti mokomus dalykus bei sėkmingai pasiruošti akademiniams iššūkiams.
Atsisiųsk programėlę:
Susisiek su mumis: info@knowledgenestapp.com