Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma

Šioje temoje nagrinėjama aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma. Apibrėžiamos pagrindinės formulės sumai apskaičiuoti, pateikiami jų įrodymai, alternatyvios formulės ir praktiniai pavyzdžiai. Taip pat parodoma, kaip rasti n-tąjį narį, žinant sumos formulę.

Alternatyvi aritmetinės progresijos sumos formulė
Kai žinomas pirmasis progresijos narys (\(a_1\)) ir skirtumas (\(d\)), galima naudoti alternatyvią sumos formulę: \(S_n = (2a_1 + (n - 1) * d) * n / 2\). Ši formulė gaunama į pagrindinę sumos formulę įstačius n-tojo nario formulę \(a_n = a_1 + (n-1) * d\). Formulė yra alternatyva, kai žinomas progresijos skirtumas \(d\).
Aritmetinės progresijos n-tojo nario radimas iš sumos
Jeigu yra žinoma aritmetinės progresijos pirmųjų \(n\) narių sumos (\(S_n\)) išraiška arba formulė, galima rasti bet kurį tos progresijos narį \(a_n\). N-tasis narys (\(n > 1\)) yra lygus skirtumui tarp pirmųjų \(n\) narių sumos ir pirmųjų \(n-1\) narių sumos. Pirmasis narys (\(a_1\)) yra lygus pirmųjų vieno nario sumai (\(S_1\)).
Aritmetinės progresijos suma
Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma, žymima \(S_n\), yra visų progresijos narių nuo pirmojo (\(a_1\)) iki n-tojo (\(a_n\)) algebrinė suma. Ją galima apskaičiuoti dviem pagrindiniais būdais: žinant pirmąjį ir paskutinį narį arba žinant pirmąjį narį ir progresijos skirtumą (\(d\)).
Aritmetinės progresijos sumos formulė
Aritmetinės progresijos pirmųjų \(n\) narių suma (\(S_n\)) apskaičiuojama pagal formulę: \(S_n = (a_1 + a_n) * n / 2\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys, \(a_n\) yra n-tasis progresijos narys, o \(n\) yra sudedamų narių skaičius. Ši formulė išvedama sudėjus progresijos narius tiesiogine ir atvirkštine tvarka (Gauso metodas), pastebint, kad kiekviena pora sumuojasi iki tos pačios vertės (\(a_1 + a_n\)).
Aritmetinės progresijos sumos formulės
Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma, žymima \(S_n\), gali būti apskaičiuota dviem pagrindinėmis formulėmis. Pirmoji formulė naudojama, kai žinomas pirmasis (\(a_1\)) ir n-tasis (\(a_n\)) progresijos narys bei narių skaičius n: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\). Antroji formulė naudojama, kai žinomas pirmasis narys (\(a_1\)), progresijos skirtumas (d) ir narių skaičius n: \(S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)d)n}{2}\). Antroji formulė išvedama iš pirmosios, panaudojant n-tojo nario formulę \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
N-tojo nario radimas iš sumos
Jeigu žinoma pirmųjų \(n\) narių sumos formulė (\(S_n\)), \(n\)-tąjį narį galima rasti atimant iš \(S_n\) sumą \(S_{n-1}\). Tai reiškia, \(a_n = S_n - S_{n-1}\) (kai \(n > 1\)). Pirmajam nariui \(a_1 = S_1\). Metodas veikia atimant gretimas sumas.
N-tojo nario radimas iš sumos formulės
Jei yra žinoma aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos \(S_n\) formulė kaip funkcija nuo n, galima rasti bet kurį progresijos narį \(a_n\). Pirmasis narys \(a_1\) yra lygus pirmojo nario sumai: \(a_1 = S_1\). Kiekvienas sekantis narys \(a_n\) (kai n > 1) yra lygus skirtumui tarp pirmųjų n narių sumos ir pirmųjų (n-1) narių sumos: \(a_n = S_n - S_{n-1}\).
Sumos žymėjimas sigma raide
Aritmetinės progresijos pirmųjų \(n\) narių suma gali būti kompaktiškai užrašoma naudojant graikišką raidę sigma (\(\Sigma\)). Užrašas \(\Sigma aₖ\) reiškia sumą visų narių nuo \(a₁\) iki \(aₙ\). Sigma (\(\Sigma\)) yra matematinis simbolis.

Prisijungti

arba
Real 2
„X“ yra inovatyvi mokymosi platforma, kurios tikslas – teikti aukštos kokybės mokymo medžiagą įvairiausių klasių mokiniams. Patyrusių specialistų parengtas turinys skatina smalsumą, padeda išsamiau ir giliau suprasti mokomus dalykus bei sėkmingai pasiruošti akademiniams iššūkiams.
Atsisiųsk programėlę:
Susisiek su mumis: info@knowledgenestapp.com