Geometrinė progresija yra skaičių seka \((b_n)\), kurios pirmasis narys \(b_1 \neq 0\), o kiekvienas sekantis narys gaunamas padauginus ankstesnį narį iš pastovaus, nenulinio skaičiaus \(q\) (vardiklio): \(b_n = b_{n-1} \cdot q\) (\(n \ge 2\)). Vardiklis \(q\) randamas kaip bet kurio nario (nuo antrojo) ir prieš jį einančio nario santykis: \(q = \frac{b_n}{b_{n-1}}\). Bendrojo (n-tojo) nario formulė yra \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Svarbios sąlygos: \(b_1 \neq 0\) ir \(q \neq 0\). Dažnai nagrinėjami atvejai, kai \(q \neq 1\).

Geometrinė progresija yra skaičių seka (bₙ), kurios pirmasis narys b₁ ≠ 0, o kiekvienas kitas narys (pradedant antruoju) gaunamas padauginus ankstesnį narį iš pastovaus, nenulinio skaičiaus q, vadinamo progresijos vardikliu. Vardiklis q apskaičiuojamas kaip bet kurio nario (nuo antrojo) ir prieš jį einančio nario santykis: \(q = bₙ / bₙ₋₁\). Bet kurį progresijos narį bₙ galima rasti naudojant n-tojo nario formulę: \(bₙ = b₁ ⋅ q^{n-1}\).

Geometrinė progresija yra skaičių seka \((bₙ)\), kurios pirmasis narys nėra nulis, o kiekvienas tolesnis narys, pradedant antruoju, gaunamas padauginus prieš jį esantį narį iš pastovaus skaičiaus \(q\) (\(q \neq 0\) ir \(q \neq 1\)). Pavyzdžiui, sekos 3, 6, 12, 24... ir 1, 0.5, 0.25, 0.125... yra geometrinės progresijos.

Jeigu turime dalinę geometrinę progresiją, galime rasti trūkstamus narius. Pavyzdžiui progresijoje: \(1, b_2, 4, 8,...; (q = 2; b_2 = 2)\). Arba kitoje, \([...]; -4; b_5; -16; [...]\), kur \(b_5^2 = (-4) * (-16) = 64\), o \(b_5 = \pm 8\).

Žinant geometrinės progresijos pirmąjį narį ir vardiklį, galima rasti bet kurį kitą jos narį. Pavyzdžiui jei pirmasis narys 1, o kiekvienas kitas trigubai didesnis: 1, 3, 9, 27, 81. Jei pirmasis narys 12, o kiekvienas kitas dvigubai mažesnis: 12, 6, 3, 1.5, 0.75. Naudojant formulę \(b_n = b_1 * q^{n-1}\): a) \(b_1 = 4, q = 2\): 4, 8, 16, 32; b) \(b_1 = 18, q = 1/3\): 18, 6, 2, 2/3; c) \(b_1 = -16, q = 0.5\): -16, -8, -4, -2.

Uždaviniuose dažnai reikia rasti nežinomus geometrinės progresijos narius arba jos parametrus (pirmąjį narį, vardiklį). Pavyzdžiui, jei žinomi keli progresijos nariai, galima sudaryti lygčių sistemą ir rasti nežinomuosius. Pavyzdžiai: a) 1, 5, \(b_3, b_4,\) 625, \(b_6\); (\(q = 5; b_3 = 25, b_4=125, b_6 = 3125\)). b) \(b_3 = 12, b_4 = 24\) (\(q = 2; b_1 = 3\)).

Jei geometrinės progresijos pirmasis narys yra \(b_1\), o vardiklis yra \(q\), tai \(n\)-tasis narys (\(b_n\)) apskaičiuojamas pagal formulę: \(b_n = b_1 * q^{n-1}\). Pavyzdžiui, jei \(b_1 = 8\) ir \(q = 2\), tai \(b_5 = 8 * 2^4 = 128\), o \(b_6 = 8 * 2^5 = 256\).

Jeigu kvadrato kraštinė dvigubinama kiekviename žingsnyje, pradedant nuo 1, kraštinių ilgiai sudaro geometrinę progresiją: 1, 2, 4, 8, 16, 32 (\(q=2\)). Kvadrato plotai, atitinkamai, taip pat sudaro geometrinę progresiją: 1, 4, 16, 64, 256, 1024 (\(q=4\)).

Geometrinės progresijos vardiklis (\(q\)) yra skaičius, lygus bet kurio progresijos nario (pradedant antruoju) ir prieš jį esančio nario santykiui. Jis apskaičiuojamas pagal formulę: \(q = b_n / b_{n-1}\).

Norint nustatyti, ar seka yra geometrinė progresija, reikia patikrinti, ar santykis tarp gretimų narių yra pastovus. Pavyzdžiui, seka 2, 8, 32, 128, 256 yra geometrinė progresija (\(q=4\)), o seka 3, 33, 333, 3333 nėra. Pateiktos sekos ir jų analizė: a) 2, 8, 32, 128, 256 (Taip, \(q = 4\)); b) 10, 100, 1000, 10000 (Taip, \(q = 10\)); c) 25, 5, 1, \(1/5\),... (Taip, \(q = 1/5\)); d) 3, 33, 333, 3333 (Ne); e) 2, -4, 8, -16, 32 (Taip, \(q = -2\)); f) 1, 4, 9, 16, 25 (Ne).

Geometrinė progresija yra skaičių seka \((b_n)\), kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas padauginus ankstesnį narį iš pastovaus, nelygaus nuliui skaičiaus \(q\), vadinamo geometrinės progresijos vardikliu. Tai reiškia, kad galioja formulė \(b_n = b_{n-1} \cdot q\) visiems \(n \ge 2\). Bet kurį geometrinės progresijos narį \(b_n\) galima apskaičiuoti naudojant pirmąjį narį \(b_1\) ir vardiklį \(q\).

Geometrinė progresija yra skaičių seka \((b_n)\), kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus prieš jį einančio nario ir pastovaus, nenulio skaičiaus \(q\) sandaugai. Šis skaičius \(q\) vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Bet kurį geometrinės progresijos narį \(b_n\) galima apskaičiuoti naudojant n-ojo nario formulę, jei žinomas pirmasis narys \(b_1\) ir progresijos vardiklis \(q\).

Geometrinė progresija yra skaičių seka (\(b_n\)), kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas padauginus prieš jį esantį narį iš pastovaus skaičiaus \(q\) (\(q \neq 0\) ir \(q \neq 1\)). Šis skaičius \(q\) vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Pavyzdžiui, seka 1, 2, 4, 8, 16... yra geometrinė progresija su pradiniu nariu \(b_1 = 1\) ir vardikliu \(q = 2\).

Geometrinės progresijos \(n\)-tąjį narį (\(b_n\)) galima apskaičiuoti pagal formulę: \(b_n = b_1 * q^{(n-1)}\), kur \(b_1\) yra pirmasis progresijos narys, o \(q\) – vardiklis. Ši formulė išvedama nuosekliai dauginant pirmąjį narį iš vardiklio: \(b_2 = b_1 * q\), \(b_3 = b_2 * q = b_1 * q^2\), \(b_4 = b_3 * q = b_1 * q^3\) ir t.t.

Geometrinės progresijos principai taikomi sprendžiant įvairius uždavinius. Tai apima sekos atpažinimą (ar seka yra geometrinė progresija), pirmųjų narių radimą, \(n\)-tojo nario radimą, vardiklio radimą, pirmojo nario radimą, nario numerio radimą ir praktinius taikymus, pvz., trikampių perimetrų skaičiavimus ar bakterijų dauginimosi modeliavimą.

Kiekvieno geometrinės progresijos nario \(b_n\) (išskyrus pirmąjį, o baigtinėje progresijoje – ir paskutinį) kvadrato reikšmė yra lygi jam iš abiejų pusių vienodai nutolusių narių sandaugai. Paprasčiausiu atveju, tai yra kaimyninių narių sandauga: \(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\). Bendresniu atveju, jei nariai nutolę per \(k\) pozicijų: \(b_n^2 = b_{n-k} \cdot b_{n+k}\) (su sąlyga, kad \(n > k \ge 1\) ir atitinkami nariai egzistuoja). Iš čia seka, kad nario modulis yra geometrinis vidurkis tarp jam simetriškų narių: \(|b_n| = \sqrt{b_{n-k} \cdot b_{n+k}}\).

Geometrinė progresija – tai skaičių seka \((b_n)\), kurioje pirmasis narys \((b_1)\) nėra lygus nuliui, o kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas padauginus prieš jį esantį narį iš pastovaus skaičiaus \(q\) (\(q \neq 0\)). Šis skaičius \(q\) vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Seka gali būti baigtinė (pvz., 5, 10, 20, ..., 640) arba begalinė (pvz., 5, 10, 20, ...).

Geometrinė progresija \((b_n)\) yra skaičių seka, kurios pirmasis narys \(b_1 \neq 0\), o kiekvienas sekantis narys (pradedant antruoju) gaunamas padauginus prieš jį einantį narį iš to paties, nelygaus nuliui, skaičiaus \(q\). Šis skaičius \(q\) vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Progresija gali būti baigtinė arba begalinė. Vardiklis apskaičiuojamas pagal formulę \(q = \frac{b_{n+1}}{b_n}\), kur \(n \in \mathbb{N}\).

Norint rasti bet kurį geometrinės progresijos \((b_n)\) narį, naudojama n-tojo nario formulė, kuri išreiškia \(n\)-tąjį narį \(b_n\) per pirmąjį narį \(b_1\) ir vardiklį \(q\): \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Čia \(n\) yra nario eilės numeris sekoje, natūralusis skaičius (\(n \in \mathbb{N}\)).

Norint rasti bet kurį geometrinės progresijos narį, naudojama n-tojo nario formulė: \(b_n = b_1 * q^{n-1}\), kur \(b_1\) yra pirmasis progresijos narys, \(q\) – progresijos vardiklis, o \(n\) – ieškomo nario numeris. Pavyzdžiui, antrasis narys (\(n=2\)) apskaičiuojamas: \(b_2 = b_1 * q^{2-1} = b_1 * q\), o trečiasis narys (\(n=3\)): \(b_3 = b_1 * q^{3-1} = b_1 * q^2\).

Geometrinės progresijos (\(b_n\)) viduriniojo nario savybė teigia, kad bet kurio nario kvadratas yra lygus gretimų narių sandaugai: \(b_n^2 = b_{n-1} * b_{n+1}\). Bendresniu atveju, \(b_n^2 = b_{n-k} * b_{n+k}\), arba \(|b_n| = \sqrt{(b_{n-1} * b_{n+1})} = \sqrt{(b_{n-k} * b_{n+k})}\), kur \(k\) ir \(n\) yra natūralieji skaičiai.