Įrodymas remiasi prieštaros metodu. Daroma prielaida, kad \(\sqrt{2}\) yra racionalusis skaičius, išreiškiamas nesuprastinamąja trupmena \(m/n\). Atlikus veiksmus, gaunama prieštara, kad \(m\) ir \(n\) abu yra lyginiai, todėl trupmena nėra nesuprastinamoji. Tai įrodo, kad \(\sqrt{2}\) yra iracionalusis skaičius.

Iracionalumas trupmenos vardiklyje panaikinamas dauginant skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio reiškinio. Pavyzdžiui, norint panaikinti iracionalumą trupmenoje \(1 / (\sqrt{7} - \sqrt{5})\), skaitiklis ir vardiklis dauginami iš \((\sqrt{7} + \sqrt{5})\). Tai leidžia supaprastinti reiškinį, naudojant formulę \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).

Iracionalieji skaičiai gali būti išreiškiami begalinėmis neperiodinėmis dešimtainėmis trupmenomis. Laipsnio su iracionaliuoju rodikliu reikšmė apskaičiuojama norimu tikslumu, aproksimuojant iracionalųjį rodiklį racionaliaisiais skaičiais su trūkumu ir pertekliumi. Laipsnių su teigiamuoju pagrindu ir realiaisiais rodikliais savybės yra tokios pačios, kaip ir laipsnių su racionaliaisiais rodikliais.

Šaknims galioja kelios pagrindinės savybės: šaknis iš sandaugos (\(\sqrt[n]{(ab)} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\)), šaknis iš trupmenos (\(\sqrt[n]{(a/b)} = \sqrt[n]{a} / \sqrt[n]{b}\)), šaknies rodiklio ir pošaknio laipsnio rodiklio daugyba/dalyba (\(\sqrt[n]{(a^m)} = \sqrt[nk]{(a^{mk})}\)), ir šaknis iš laipsnio (\(\sqrt[n]{(a^n)} = |a|\), kai \(n\) lyginis; \(\sqrt[n]{(a^n)} = a\), kai \(n\) nelyginis).

\(N\)-tojo laipsnio šaknis iš skaičiaus \(a\) yra toks realusis skaičius, kurio \(n\)-tasis laipsnis yra lygus \(a\) (kai \(a \ge 0\), \(n \in \mathbb{N}\) ir \(n > 1\)). Ji žymima \(\sqrt[n]{a}\). Skaičius \(n\) vadinamas šaknies rodikliu, o skaičius \(a\) – pošakniniu reiškiniu arba pošakniu. Aritmetinė \(n\)-tojo laipsnio šaknis iš neneigiamo skaičiaus \(a\) yra neneigiamas skaičius, kurio \(n\)-tasis laipsnis lygus \(a\). Vardiklio iracionalumas – tai situacija, kai trupmenos vardiklyje yra iracionalusis skaičius (šaknis), kurį dažnai siekiama panaikinti.

Reiškinio \(\sqrt[n]{a}\) apibrėžimo sritis priklauso nuo šaknies rodiklio \(n\). Jei \(n\) yra lyginis (\(n = 2k, k \in \mathbb{N}\)), tai reiškinys turi prasmę, kai \(a \geq 0\). Jei \(n\) yra nelyginis (\(n = 2k + 1, k \in \mathbb{N}\)), tai reiškinys turi prasmę, kai \(a\) yra bet kuris realusis skaičius (\(a \in \mathbb{R}\)).

Teigiamojo skaičiaus \(a\) laipsnis su racionaliuoju rodikliu \(m/n\) yra apibrėžiamas kaip \(n\)-tojo laipsnio šaknis iš \(a\) pakelto \(m\)-tuoju laipsniu: \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\).