Panašiųjų trikampių perimetrų ir plotų santykis

Šioje temoje nagrinėjami panašiųjų trikampių perimetrų, aukštinių ir plotų santykiai. Įrodoma, kad perimetrų ir aukštinių santykiai lygūs panašumo koeficientui, o plotų santykis – panašumo koeficiento kvadratui. Pateikiami pavyzdžiai ir apibendrinimas.

Panašiųjų trikampių aukštinių santykis
Panašiųjų trikampių atitinkamų aukštinių santykis yra lygus tų trikampių panašumo koeficientui (\(k\)). Jei \(\Delta A_1B_1C_1 \sim \Delta ABC\), o \(B_1D_1\) ir \(BD\) yra atitinkamos aukštinės, tai \(B_1D_1 / BD = k\).
Panašiųjų trikampių aukštinių santykis
Panašiųjų trikampių atitinkamų aukštinių (nuleistų į atitinkamas kraštines) ilgių santykis yra lygus tų trikampių panašumo koeficientui. Jei ΔA₁B₁C₁ ~ ΔABC su panašumo koeficientu k, ir \(B₁D₁\) bei \(BD\) yra atitinkamos aukštinės į kraštines \(A₁C₁\) ir \(AC\), tai statieji trikampiai ΔA₁B₁D₁ ir ΔABD taip pat yra panašūs (pagal du kampus). Iš jų panašumo seka, kad aukštinių santykis \(B₁D₁/BD\) yra lygus atitinkamų įžambių santykiui \(A₁B₁/AB\), kuris pagal pradinę sąlygą yra lygus k. Taigi, \(h₁/h = k\).
Panašiųjų trikampių perimetrų santykis
Panašiųjų trikampių perimetrų santykis yra lygus tų trikampių panašumo koeficientui. Jei du trikampiai ΔA₁B₁C₁ ir ΔABC yra panašūs su panašumo koeficientu k, tai jų atitinkamos kraštinės yra proporcingos: \(A₁B₁/AB = B₁C₁/BC = A₁C₁/AC = k\). Jų perimetrų santykis \(P₁/P = (A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁)/(AB + BC + AC)\). Išreiškus pirmojo trikampio kraštines per antrojo trikampio kraštines (pvz., \(A₁B₁ = k * AB\)) ir įstačius į santykį, gaunama, kad \(P₁/P = k\).
Panašiųjų trikampių perimetrų santykis
Panašiųjų trikampių perimetrų santykis yra lygus šių trikampių panašumo koeficientui (\(k\)). Jei trikampiai \(\Delta A_1B_1C_1\) ir \(\Delta ABC\) yra panašūs, o jų atitinkamų kraštinių santykis yra \(k\) (\(A_1B_1 / AB = B_1C_1 / BC = A_1C_1 / AC = k\)), tai jų perimetrų santykis \(P_1 / P = (A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1) / (AB + BC + AC) = k\).
Panašiųjų trikampių plotų santykis
Panašiųjų trikampių plotų santykis yra lygus tų trikampių panašumo koeficiento kvadratui. Jei ΔA₁B₁C₁ ~ ΔABC su panašumo koeficientu k, tai jų plotai \(S₁\) ir \(S\) yra susiję lygybe \(S₁/S = k²\). Tai išplaukia iš trikampio ploto formulės \(S = 1/2 * pagrindas * aukštinė\). Trikampio ΔA₁B₁C₁ plotas \(S₁ = 1/2 * A₁C₁ * B₁D₁\), o trikampio ΔABC plotas \(S = 1/2 * AC * BD\). Kadangi panašiuose trikampiuose atitinkami pagrindai yra proporcingi k (\(A₁C₁ = k * AC\)) ir atitinkamos aukštinės taip pat proporcingos k (\(B₁D₁ = k * BD\)), jų santykis yra \(S₁/S = (1/2 * A₁C₁ * B₁D₁)/(1/2 * AC * BD) = (k * AC * k * BD)/(AC * BD) = k²\).
Panašiųjų trikampių plotų santykis
Panašiųjų trikampių plotų santykis yra lygus tų trikampių panašumo koeficiento kvadratui (\(k^2\)). Jei \(ΔA_1B_1C_1\) ir \(ΔABC\) yra panašūs, o jų atitinkamų kraštinių santykis yra \(k\), tai jų plotų santykis \(S_1 / S = (1/2 * A_1C_1 * B_1D_1) / (1/2 * AC * BD) = k^2\).
Panašiųjų trikampių santykių savybės
Du trikampiai vadinami panašiaisiais (ΔA₁B₁C₁ ~ ΔABC), jei jų atitinkami kampai yra lygūs, o atitinkamos kraštinės – proporcingos. Šis proporcingumo koeficientas vadinamas panašumo koeficientu (k) ir jis sieja ne tik kraštines, bet ir kitus atitinkamus trikampių elementus bei matus.

Prisijungti

arba
Real 2
„X“ yra inovatyvi mokymosi platforma, kurios tikslas – teikti aukštos kokybės mokymo medžiagą įvairiausių klasių mokiniams. Patyrusių specialistų parengtas turinys skatina smalsumą, padeda išsamiau ir giliau suprasti mokomus dalykus bei sėkmingai pasiruošti akademiniams iššūkiams.
Atsisiųsk programėlę:
Susisiek su mumis: info@knowledgenestapp.com