SQL log

  | Savybė                        | Paaiškinimas                                                                                                 |
  | :----------------------------- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
  | Tangentinis daugiakampis       | Daugiakampis, kurio visos kraštinės liečia apskritimą. Šis apskritimas vadinamas įbrėžtiniu.                     |
  | Įbrėžtinis apskritimas         | Apskritimas, kurį liečia visos daugiakampio (arba trikampio) kraštinės. Jo centras yra pusiaukampinių susikirtimo taškas. |
  | Tangentinis trikampis          | Trikampis, kurio visos kraštinės liečia apskritimą (įbrėžtinį apskritimą).                                     |
  | Įbrėžtinio apskritimo spindulys (r) | Įbrėžto į trikampį apskritimo spindulys. Tai yra atstumas nuo įbrėžtinio apskritimo centro iki bet kurios kraštinės. |
  
  ##### Įbrėžtinio apskritimo centro radimas trikampyje
  
  | Žingsnis | Veiksmas                                                                                                          |
  | :------- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
  | 1        | Nubrėžiama vieno trikampio kampo pusiaukampinė.                                                                     |
  | 2        | Nubrėžiama kito trikampio kampo pusiaukampinė.                                                                     |
  | 3        | Randamas šių dviejų pusiaukampinių sankirtos taškas. Šis taškas ir yra įbrėžtinio apskritimo centras (paprastai žymimas O arba I). Visos trys pusiaukampinės kertasi šiame taške. |
  | 4        | Iš taško O nuleidžiamas statmuo į bet kurią trikampio kraštinę. Šio statmens ilgis yra įbrėžto apskritimo spindulys $$r$$.   |
  
  ##### Trikampio ploto ir įbrėžtinio apskritimo spindulio formulės
  
  | Formulė                               | Paaiškinimas                                                                                      |
  | :------------------------------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------ |
  | $$S = r \cdot p$$                       | Trikampio plotas ($$S$$) lygus įbrėžto apskritimo spindulio ($$r$$) ir pusperimetrio ($$p$$) sandaugai.        |
  | $$p = \frac{a + b + c}{2}$$           | Pusperimetris ($$p$$) lygus trikampio kraštinių ($$a, b, c$$) sumai, padalintai iš 2.                      |
  | $$r = \frac{S}{p}$$                     | Įbrėžto apskritimo spindulys ($$r$$) lygus trikampio plotui ($$S$$), padalintam iš pusperimetrio ($$p$$).       |
  | $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$       | Herono formulė trikampio plotui ($$S$$) apskaičiuoti, kai žinomos visos kraštinės ($$a, b, c$$) ir pusperimetris ($$p$$). Naudinga rasti $$r$$, kai žinomos tik kraštinės. |
  
  ##### Apibrėžimai
  
  | Terminas         | Apibrėžimas                                                                                             |
  | :--------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
  | Pusiaukampinė    | Spindulys, dalijantis kampą į dvi lygias dalis. Trikampio pusiaukampinių susikirtimo taškas yra įbrėžtinio apskritimo centras. |
  | Liestinė         | Tiesė, kuri liečia kreivę (pvz., apskritimą) tik viename taške (lietimosi taške). Įbrėžtinio apskritimo liestinės yra daugiakampio kraštinės. |
  | Pusperimetris    | Pusė daugiakampio (pvz., trikampio) perimetro (visų kraštinių ilgių sumos).                               |
  | Statmuo          | Atkarpa, jungianti tašką su tiese ir sudaranti su ta tiese statųjį kampą (90 laipsnių). Įbrėžtinio apskritimo spindulys yra statmuo, nuleistas iš centro į kraštinę. |' (Size = 4000), @p3='False', @p4='False' (Nullable = true), @p5='' (Size = 4000), @p6=NULL (DbType = Guid), @p7='ad061007-c6ad-ec01-1265-bd41b4ae2e2d' (Nullable = true), @p8=NULL (Size = 4000), @p9='Sukurkite išsamų dokumentą lietuvių kalba apie apibrėžtinius trikampius (trikampius, apibrėžtus apie įbrėžtinį apskritimą). Dokumente turi būti:
  
  1.  **Įvadas:** Paaiškinkite bendrąsias sąvokas: kas yra įbrėžtinis apskritimas ir apibrėžtinis daugiakampis.
  2.  **Apibrėžtinis trikampis:** Pateikite apibrėžtinio trikampio apibrėžimą, paaiškinkite jo sąsają su įbrėžtiniu apskritimu. Paminėkite, kad į kiekvieną trikampį galima įbrėžti tik vieną apskritimą ir kad įbrėžtinio apskritimo spindulys žymimas raide 'r'.
  3.  **Įbrėžtinio apskritimo centras:** Aprašykite, kaip rasti įbrėžtinio apskritimo centrą – kaip trikampio kampų pusiaukampinių susikirtimo tašką. Paaiškinkite pusiaukampinės savybę (vienodas atstumas iki kraštinių) ir kodėl pakanka dviejų pusiaukampinių sankirtos.
  4.  **Liestinių savybė:** Paaiškinkite apskritimo liestinių, nubrėžtų iš vieno taško, atkarpų savybę ir pritaikykite ją apibrėžtiniam trikampiui (pvz., jei lietimosi taškai yra D, E, F, tai AF = AE, BF = BD, CD = CE).
  5.  **Plotas ir įbrėžtinio apskritimo spindulys:** Pateikite formulę, siejančią trikampio plotą (S), pusperimetrį (p) ir įbrėžtinio apskritimo spindulį (r): S = r * p. Įtraukite šios formulės išvedimą, padalijant trikampį į tris mažesnius trikampius, kurių viršūnė yra įbrėžtinio apskritimo centras.
  6.  **Spindulio skaičiavimas:** Pateikite formulę įbrėžtinio apskritimo spinduliui rasti: r = S / p.
  7.  **Praktiniai pavyzdžiai:** Įtraukite bent tris pavyzdžius su detaliais sprendimais:
      *   Kampo, susijusio su įbrėžtinio apskritimo centru, apskaičiavimas (pvz., rasti kampą PIR, kai I yra centras, o P ir R – trikampio viršūnės su žinomais kampais).
      *   Trikampio kraštinių ilgių radimas naudojant liestinių atkarpų ilgius (pvz., XA=5, YB=7, ZC=3) ir trikampio tipo nustatymas (pvz., ar jis statusis).
      *   Įbrėžtinio apskritimo spindulio apskaičiavimas, kai duotos trikampio kraštinės (pvz., 13, 14, 15), naudojant Herono formulę plotui rasti.
  8.  **Santraukos lentelė (Cheatsheet):** Sukurkite lenteles, kuriose būtų apibendrintos pagrindinės sąvokos, įbrėžtinio apskritimo savybės, liestinių savybė trikampyje ir svarbiausios formulės (pusperimetrio, ploto per spindulį, spindulio per plotą, Herono formulė).' (Size = 4000), @p10='Matematika / Horizontai Matematika 10 klasė / Vadovėlis 2 dalis' (Size = 1000), @p11='matematika horizontai matematika 10 klase vadovelis 2 dalis' (Size = 1000), @p12='63d6eb4e-8e39-4ac6-8f69-55ee76feccce', @p13='False' (Nullable = true), @p14='' (Size = 4000), @p15='### Apibrėžtiniai trikampiai
  
  Trikampis ABC yra apibrėžtinis. Apskritimas yra įbrėžtinis.
  
  #### Kokie trikampiai vadinami apibrėžtiniais? Kokios savybės jiems būdingos?
  
  Nubrėžę tris apskritimo liestines ar daugiau jo liestinių, jų sankirtos taškus pažymėję raidėmis, gauname daugiakampį, kurio visos kraštinės liečia apskritimą.
  
  Daugiakampis, kurio visos kraštinės liečia apskritimą, vadinamas **apibrėžtiniu daugiakampiu**, o apskritimas – **įbrėžtiniu apskritimu**.
  
  *   **Apibrėžtinis penkiakampis** (visos kraštinės liečia apskritimą)
  *   **Neapibrėžtinis penkiakampis** (nes kraštinė AE neliečia apskritimo)
  
  Nubrėžę tris apskritimo liestines ir jų sankirtos taškus pažymėję raidėmis, gauname apibrėžtinį trikampį.
  
  Trikampis, kurio visos kraštinės liečia apskritimą, vadinamas **apibrėžtiniu trikampiu**, o apskritimas – **įbrėžtiniu apskritimu**.
  Įbrėžtinio apskritimo spindulį žymėsime *r*.
  
  Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą. To apskritimo centras yra trikampio pusiaukampinių sankirtos taškas.
  
  Aptarkime, kaip rasti įbrėžto į trikampį apskritimo centro geometrinę vietą.
  
  1. Nubrėžiame kampo A pusiaukampinę. Kiekvienas šios pusiaukampinės taškas yra tuo pačiu atstumu nutolęs nuo kampo kraštinių AB ir AC (pusiaukampinės savybė).
  2. Nubrėžiame kampo B pusiaukampinę. Kiekvienas šios pusiaukampinės taškas yra tuo pačiu atstumu nutolęs nuo kampo kraštinių AB ir BC.
  3. Abiejų pusiaukampinių sankirtos tašką pažymime raide O. Gautas taškas O yra tuo pačiu atstumu nutolęs nuo trikampio kraštinių AB, BC ir AC.
  4. Nubrėžiame apskritimą, kurio centras yra taškas O, o spindulys $$r = OD = OE = OF$$. Taigi gavome apskritimą, kuris liečia trikampio ABC kraštines taškuose D, E ir F. Šio apskritimo centras O yra trikampio pusiaukampinių sankirtos taškas.
  
  #### 1 pavyzdys
  
  Trikampio DEF kampas E yra du kartus didesnis už kampą F ir 10° didesnis už kampą D.
  Į šį trikampį įbrėžtas apskritimas liečia trikampio kraštines DE, EF ir DF atitinkamai taškuose K, L ir M.
  Apskaičiuokime kampų DOE ir DOK dydžius, jei taškas O yra apskritimo centras.
  
  **Duota:** ΔDEF, ∠DEF = 2 · ∠DFE, ∠DEF = ∠EDF + 10°, O - įbrėžtinio apskritimo centras.
  **Rasti:** ∠DOE, ∠DOK.
  
  ##### Sprendimas
  
  1.  Pažymėkime ∠DFE = x. Tada ∠DEF = 2x, ∠EDF = 2x – 10°.
      ∠EDF + ∠DEF + ∠DFE = 180° (trikampio vidaus kampų suma lygi 180°).
      (2x - 10°) + 2x + x = 180°, x = 38°.
      Gauname: ∠DFE = 38°, ∠DEF = 2 · 38° = 76°, ∠EDF = 2 · 38° – 10° = 66°.
  2.  ∠EDO = 1/2 ∠EDF (nes DO – pusiaukampinė).
      ∠EDO = 1/2 · 66° = 33°.
      ∠DEO = 1/2 · ∠DEF (nes EO – pusiaukampinė).
      ∠DEO = 1/2 · 76° = 38°.
      ∠DOE = 180° – ∠EDO – ∠DEO, ∠DOE = 180° – 33° – 38° = 109°.
  3.  ∠DKO = 90° (apskritimo spindulys, nubrėžtas į liestinės lietimosi tašką, yra statmenas liestinei).
      ∠DOK = 180° – ∠DKO – ∠ODK, ∠DOK = 180° - 90° – 33° = 57°.
  
  **Atsakymas.** ∠DOE = 109°, ∠DOK = 57°.
  
  #### 2 pavyzdys
  
  Į trikampį ABC įbrėžtas apskritimas. D, E ir F - trikampio kraštinių ir apskritimo lietimosi taškai. Remdamiesi brėžinio duomenimis, nustatykime trikampio ABC rūšį pagal kampus.
  
  **Duota:** į trikampį ABC įbrėžtas apskritimas, D, E ir F – lietimosi taškai, AF = 4, BD = 6, CE = 2.
  **Nustatyti:** trikampio ABC rūšį (pagal kampus).
  
  ##### Sprendimas
  
  1.  Trikampio kraštinės yra apskritimo liestinių atkarpos.
      AD = AF = 4, BE = BD = 6, CF = CE = 2 (jei apskritimo liestinės kertasi kuriame nors taške, tai jų atkarpos nuo to taško iki lietimosi su apskritimu taškų yra lygios).
  2.  AB = AD + DB, AB = 4 + 6 = 10;
      BC = BE + EC, BC = 6 + 2 = 8;
      AC = AF + FC, AC = 4 + 2 = 6.
  3. Tikriname, ar trikampis ABC yra statusis:
      $$AB^2 = BC^2 + AC^2$$, $$10^2 = 8^2 + 6^2$$, $$100 = 64 + 36$$, $$100 = 100$$.
      Lygybė yra teisinga, todėl pagal atvirkštinę Pitagoro teoremą trikampis ABC yra statusis.
  
  **Atsakymas.** Statusis trikampis.
  
  1. Trikampio ABC kampų A, B ir C dydžiai sutinka kaip 3 : 4 : 2.
  Taškas O yra įbrėžto į trikampį apskritimo centras.
  Apskaičiuokite kampo AOB dydį.
  
  2. Į trikampį ABC įbrėžtas apskritimas, liečiantis trikampio kraštines AB, BC ir AC atitinkamai taškuose K, L ir M. Remdamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite trikampio perimetrą.
  
  Žinant į trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį *r* ir trikampio kraštinių ilgius *a, b, c*, galima apskaičiuoti trikampio plotą $$S_{\triangle ABC} = r \cdot p$$. Šioje formulėje *p* – trikampio pusperimetris, $$p = \frac{1}{2} (a + b + c)$$.
  Įrodysime trikampio ploto formulę.
  
  **Duota:** ∆ABC, BC = *a*, AC = *b*, AB = *c*, *r* – įbrėžtinio apskritimo spindulio ilgis.
  **Įrodyti:** $$S_{\triangle ABC} = r \cdot p$$.
  
  **Įrodymas**
  1. Taškas O – įbrėžtinio apskritimo centras.
  2. Nagrinėjame trikampius COB, AOC ir AOB.
  Atkarpa OE yra trikampio COB aukštinė. Šio trikampio plotas lygus
  $$S_{\triangle COB} = \frac{1}{2} BC \cdot OE = \frac{1}{2} a \cdot r$$.
  Analogiškai $$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} AC \cdot OF = \frac{1}{2} b \cdot r$$, $$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot OD = \frac{1}{2} c \cdot r$$.
  3. $$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle COB} + S_{\triangle AOC} + S_{\triangle AOB}$$,
  $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a \cdot r + \frac{1}{2} b \cdot r + \frac{1}{2} c \cdot r = \frac{1}{2} r(a + b + c) = r \cdot \frac{a + b + c}{2} = r \cdot p$$,
  nes $$p = \frac{1}{2} (a + b + c)$$.
  Įrodyta.
  
  Iš trikampio ploto formulės $$S_{\triangle ABC} = r \cdot p$$ galime gauti formulę įbrėžto į trikampį apskritimo spindulio ilgiui apskaičiuoti: $$r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p}$$
  
  #### 3 pavyzdys
  
  Trikampio kraštinių ilgiai yra 22 cm, 61 cm ir 61 cm. Apskaičiuokime į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį.
  
  **Duota:** ∆ABC, AB = BC = 61 cm, AC = 22 cm.
  **Rasti:** r.
  
  **Sprendimas**
  
  1.  Brėžiame trikampio aukštinę BD.
      AD = 1/2 AC, AD = 1/2 · 22 = 11 (cm) (lygiašonio trikampio aukštinė, nubrėžta į pagrindą, sutampa su pusiaukraštine).
  2.  ∆ABD - statusis.
      $$BD^2 = AB^2 - AD^2$$ (Pitagoro teorema),
      $$BD^2 = 61^2 - 11^2 = (61-11)(61+11) = 50 \cdot 72 = 3600$$,
      BD = 60 cm.
  3.  $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$$, $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 60 = 660 \text{ (cm}^2\text{)}$$.
  4.  $$p = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)$$, $$p = \frac{1}{2} (61 + 61 + 22) = \frac{144}{2} = 72 \text{ (cm)}$$.
  5.  $$r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p}$$, $$r = \frac{660}{72} = \frac{110}{12} = \frac{55}{6} = 9 \frac{1}{6} \text{ (cm)}$$.
  
  **Atsakymas:** $$9 \frac{1}{6}$$ cm.
  
  #### Svarbu!
  
  * Įbrėžto į trikampį apskritimo centras yra trikampio pusiaukampinių sankirtos taškas.
  * $$S_{\triangle ABC} = r \cdot p \implies r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p}$$;
  čia $$S_{\triangle ABC}$$ - trikampio plotas, *r* – įbrėžtinio apskritimo spindulio ilgis, *p* - trikampio pusperimetris.
  
  ### Sprendžiame uždavinius
  
  7. Taškas O yra į trikampį įbrėžto apskritimo centras. Remdamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite raide x pažymėto kampo dydį.
  
  8.
   a) Trikampio ABC ∠A = 60°. Atstumas nuo taško A iki įbrėžto į šį trikampį apskritimo centro lygus 12 cm. Apskaičiuokite įbrėžto į trikampį apskritimo spindulio ilgį.
   b) Trikampio KLM ∠K = 60°. Į šį trikampį įbrėžtas apskritimas, kurio centras nutolęs nuo taško K 18 dm atstumu. Apskaičiuokite apskritimo spindulio ilgį.
  
  9.
   a) Į lygiašonį trikampį įbrėžtas apskritimas. Trikampio šoninės kraštinės ir apskritimo lietimosi taškas dalija tą kraštinę į 9 cm ir 12 cm ilgio atkarpas. Apskaičiuokite:
    1) trikampio perimetrą;
    2) trikampio aukštinės, nubrėžtos į pagrindą, ilgį;
    3) trikampio plotą.
   b) Į lygiašonį trikampį įbrėžtas apskritimas. Trikampio šoninės kraštinės ir apskritimo lietimosi taškas dalija tą kraštinę į 2 cm ir 13 cm ilgio atkarpas. Apskaičiuokite:
    1) trikampio perimetrą;
    2) trikampio aukštinės, nubrėžtos į pagrindą, ilgį;
    3) trikampio plotą.
  
  10.
   a) Lygiašonio trikampio šoninės kraštinės ilgis lygus 20 cm, o pagrindo ilgis lygus 24 cm. Apskaičiuokite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį.
   b) Į trikampį įbrėžtas apskritimas. Trikampio kraštinių ilgiai yra 60 cm, 60 cm, 72 cm. Apskaičiuokite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį.
  
  11.
   a) Lygiašonio trikampio pagrindo ilgis lygus 16 cm, o aukštinės, nubrėžtos į pagrindą, ilgis lygus 6 cm. Apskaičiuokite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį.
   b) Lygiašonio trikampio šoninės kraštinės ilgis lygus 10 dm, aukštinės, nubrėžtos į pagrindą, ilgis lygus 8 dm. Apskaičiuokite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį.
  
  12. a) Trikampio kraštinių ilgiai yra 28 dm, 45 dm ir 53 dm. Apskaičiuokite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį.
   b) Į trikampį, kurio kraštinių ilgiai 16 cm, 63 cm ir 65 cm, įbrėžtas apskritimas. Apskaičiuokite šio apskritimo spindulio ilgį.
  
  13. a) Trikampio plotas lygus 84, o į tą trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgis lygus 4. Apskaičiuokite šio trikampio perimetrą.
   b) Trikampio perimetras lygus 84, o į tą trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgis lygus 8. Apskaičiuokite trikampio plotą.
  
  14. a) Trikampio kraštinių ilgiai lygūs 26, 28 ir 30. Apskaičiuokite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį.
   b) Trikampio kraštinių ilgiai lygūs 3,2, 11,6 ir 14. Apskaičiuokite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį.
  
  15. a) Apskritimas padalytas į tris dalis santykiu 3 : 4 : 5. Per dalijimo taškus nubrėžtos liestinės, kurios susikirsdamos sudaro trikampį. Apskaičiuokite gauto trikampio kampų dydžius.
   b) Apskritimas padalytas į tris dalis santykiu 3 : 7 : 8. Per dalijimo taškus nubrėžtos liestinės, kurios susikirsdamos sudaro trikampį. Apskaičiuokite gauto trikampio mažiausio kampo dydį.
  
  #### Tyrinėkime
  
  16. Į trikampį ABC, kurio plotas lygus 18, įbrėžtas apskritimas. Jo spindulio ilgis lygus 2. Šis apskritimas liečia trikampio kraštines AC ir BC atitinkamai taškuose E ir F, be to, AE : EC = 2 : 3 ir BF : FC = 5 : 6.
   1) Pažymėję kraštinės AC ilgį *k*, išreikškite kraštinių AB ir BC ilgius dydžiu *k*.
   2) Taikydami formulę $$S_{\triangle ABC} = r \cdot p$$ (čia *p* - pusperimetris), sudarykite lygtį ir apskaičiuokite kraštinės AC ilgį.' (Size = -1), @p16='# Apibrėžtiniai Daugiakampiai ir Trikampiai
  
  ## Apibrėžtiniai Daugiakampiai
  
  Daugiakampis, kurio visos kraštinės liečia apskritimą, vadinamas **apibrėžtiniu daugiakampiu**. Apskritimas, kurį liečia visos daugiakampio kraštinės, vadinamas **įbrėžtiniu apskritimu**.
  
  Pavyzdžiui, jei nubrėžiamos trys ar daugiau apskritimo liestinių, o jų sankirtos taškai pažymimi raidėmis, gaunamas daugiakampis, kurio visos kraštinės liečia apskritimą.
  
  **Skirtumai:**
  
  *   **Apibrėžtinis penkiakampis:** Visos kraštinės liečia apskritimą.
  *   **Neapibrėžtinis penkiakampis:** Ne visos kraštinės liečia apskritimą (pvz., viena kraštinė gali neliesti apskritimo).
  
  ## Apibrėžtiniai Trikampiai
  
  Trikampis, kurio visos kraštinės liečia apskritimą, vadinamas **apibrėžtiniu trikampiu**. Apskritimas, kurį liečia visos trikampio kraštinės, vadinamas **įbrėžtiniu apskritimu**. Įbrėžtinio apskritimo spindulys žymimas **r**.
  
  ## Įbrėžtinio Apskritimo Centras
  
  Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą. Šio apskritimo centras yra trikampio pusiaukampinių sankirtos taškas.
  
  **Radimo būdas:**
  
  1.  Nubrėžiama vieno kampo pusiaukampinė. Visi šios pusiaukampinės taškai yra vienodai nutolę nuo to kampo kraštinių.
  2.  Nubrėžiama kito kampo pusiaukampinė. Visi šios pusiaukampinės taškai yra vienodai nutolę nuo to kampo kraštinių.
  3.  Šių dviejų pusiaukampinių sankirtos taškas (pažymėkime jį O) yra vienodai nutolęs nuo visų trijų trikampio kraštinių.
  4.  Nubrėžiamas apskritimas, kurio centras yra taškas O, o spindulys lygus atstumui nuo taško O iki trikampio kraštinių. Šis apskritimas liečia trikampio kraštines.
  
  ## Pavyzdžiai
  
  ### 1 Pavyzdys
  
  Trikampio DEF kampas E yra du kartus didesnis už kampą F ir 10° didesnis už kampą D. Į šį trikampį įbrėžtas apskritimas. Reikia apskaičiuoti kampų DOE ir DOK dydžius, kai O yra apskritimo centras.
  
  **Sprendimas:**
  
  1.  Pažymime ∠DFE = x. Tada ∠DEF = 2x, ∠EDF = 2x - 10°.
  2.  Pagal trikampio vidaus kampų sumos taisyklę: (2x - 10°) + 2x + x = 180°. Iš čia x = 38°.
  3.  Apskaičiuojami kampai: ∠DFE = 38°, ∠DEF = 76°, ∠EDF = 66°.
  4.  Kadangi DO ir EO yra pusiaukampinės, ∠EDO = 33° ir ∠DEO = 38°.
  5.  ∠DOE = 180° - ∠EDO - ∠DEO = 109°.
  6.  ∠DKO = 90° (spindulys statmenas liestinei).
  7.  ∠DOK = 180° - ∠DKO - ∠ODK = 57°.
  
  **Atsakymas:** ∠DOE = 109°, ∠DOK = 57°.
  
  ### 2 Pavyzdys
  
  Į trikampį ABC įbrėžtas apskritimas. D, E ir F yra trikampio kraštinių ir apskritimo lietimosi taškai. AF = 4, BD = 6, CE = 2. Reikia nustatyti trikampio ABC rūšį pagal kampus.
  
  **Sprendimas:**
  
  1.  Trikampio kraštinės yra apskritimo liestinių atkarpos. Remiantis savybe, kad liestinių atkarpos nuo susikirtimo taško iki lietimosi taškų yra lygios, gauname: AD = AF = 4, BE = BD = 6, CF = CE = 2.
  2.  Apskaičiuojamos kraštinių ilgiai: AB = 10, BC = 8, AC = 6.
  3.  Tikrinama, ar trikampis statusis, pritaikant atvirkštinę Pitagoro teoremą: 10² = 8² + 6². Lygybė teisinga.
  
  **Atsakymas:** Trikampis ABC yra statusis.
  
  ## Trikampio Ploto Formulė su Įbrėžtiniu Apskritimu
  
  Trikampio plotą galima apskaičiuoti, žinant įbrėžto apskritimo spindulį (r) ir trikampio pusperimetrį (p):
  
  S = r * p,  kur p = (a + b + c) / 2 (a, b, c – trikampio kraštinių ilgiai).
  
  **Įrodymas:**
  
  1.  Trikampis ABC padalijamas į tris mažesnius trikampius: COB, AOC ir AOB.
  2.  Kiekvieno iš šių trikampių plotas išreiškiamas per įbrėžto apskritimo spindulį r ir atitinkamą kraštinę. Pvz., S<sub>COB</sub>= (1/2) * a * r.
  3.  Bendras trikampio plotas yra šių trijų plotų suma: S<sub>ABC</sub> = (1/2) * a * r + (1/2) * b * r + (1/2) * c * r = r * (a + b + c) / 2 = r * p.
  
  ## Įbrėžto Apskritimo Spindulio Formulė
  
  Iš trikampio ploto formulės galima išvesti įbrėžto apskritimo spindulio formulę:
  
  r = S / p
  
  ### 3 Pavyzdys
  Trikampio kraštinių ilgiai: 22 cm, 61 cm, ir 61 cm. Reikia apskaičiuoti įbrėžto apskritimo spindulio ilgi r.
  
  **Sprendimas:**
  
  1.  Nubrėžima trikampio aukštinė. Kadangi trikampis lygiašonis, aukštinė dalija pagrindą pusiau. AD = 11 cm.
  2.  Pagal Pitagoro teoremą apskaičiuojama aukštinė: BD = 60 cm.
  3.  Apskaičiuojamas trikampio plotas: S = (1/2) * 22 * 60 = 660 cm².
  4.  Apskaičiuojamas pusperimetris: p = (61 + 61 + 22) / 2 = 72 cm.
  5.  Apskaičiuojamas spindulys: r = S / p = 660 / 72 = 9 (apytiksliai) cm
  
  **Atsakymas:** Įbrėžto apskritimo spindulys yra apytiksliai 9 cm.
  ' (Size = -1), @p17='Apibrėžtiniai trikampiai' (Size = 2000), @p18='Įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai daugiakampiai / Apibrėžtiniai trikampiai' (Size = 4000), @p19='ibreztiniai ir apibreztiniai daugiakampiai apibreztiniai trikampiai' (Size = 2000), @p20='5', @p21='0', @p22='1', @p23='7', @p24=NULL (DbType = DateTime2)], CommandType='Text', CommandTimeout='30']
  SET IMPLICIT_TRANSACTIONS OFF;
  SET NOCOUNT ON;
  UPDATE [Scanners] SET [Active] = @p0, [CheatSheet] = @p1, [CheatSheet2] = @p2, [Deleted] = @p3, [FactErrors] = @p4, [FactErrorsExplanation] = @p5, [ParentCategory2Id] = @p6, [ParentCategoryId] = @p7, [ProcessorGenerateImagePrompt] = @p8, [Prompt] = @p9, [Reference] = @p10, [ReferenceSlug] = @p11, [SiteId] = @p12, [SpellingErrors] = @p13, [SpellingErrorsExplanation] = @p14, [Summary] = @p15, [Summary2] = @p16, [Title] = @p17, [TitleBackup] = @p18, [TitleSlug] = @p19, [TotalCards] = @p20, [TotalCards2] = @p21, [TotalCategories] = @p22, [TotalPages] = @p23, [Verified] = @p24
  OUTPUT 1
  WHERE [Id] = @p25;