Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma

Šiuose skyriuose nagrinėjamos aritmetinės ir geometrinės progresijos, tiksliau, kaip apskaičiuoti jų pirmųjų n narių sumą. Pateikiamos pagrindinės formulės ir jų išvedimai, iliustruojami pavyzdžiai ir pateikiami uždaviniai su sprendimais. Taip pat nagrinėjami praktiniai šių progresijų taikymo pavyzdžiai.

Aritmetinės progresijos sumos formulių taikymas
Aritmetinės progresijos pirmųjų \(n\) narių sumai apskaičiuoti naudojamos dvi pagrindinės formulės. Pirmoji formulė, \(S_n = (a_1 + a_n) / 2 * n\), taikoma, kai žinomas pirmasis (\(a_1\)) ir paskutinysis (\(a_n\)) nariai, bei narių skaičius (\(n\)). Antroji formulė, \(S_n = (2a_1 + (n - 1) * d) / 2 * n\), naudojama, kai žinomas pirmasis narys (\(a_1\)), skirtumas (\(d\)) ir narių skaičius (\(n\)). Antroji formulė išvedama iš pirmosios, panaudojant n-tojo nario formulę: \(a_n = a_1 + (n - 1) * d\).
Aritmetinės progresijos sumos skaičiavimas
Aritmetinė progresija yra skaičių seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas prie ankstesnio nario pridėjus tą patį pastovų skaičių (skirtumą).
Praktiniai aritmetinės progresijos taikymo pavyzdžiai
Aritmetinės progresijos principai taikomi įvairiose srityse. Pavyzdžiui, skaičiuojant darbo užmokestį, kai už kiekvieną papildomą darbo valandą mokama tam tikra fiksuota suma daugiau, arba modeliuojant turisto kilimą į kalną, kai per kiekvieną valandą įveikiamas vis mažesnis aukštis. Taip pat aritmetinės progresijos naudojamos sprendžiant uždavinius, susijusius su objektų išdėstymu eilėmis (pvz., rutulių skaičius trikampyje).
Geometrinės progresijos sumos skaičiavimas
Geometrinės progresijos b1, b2, b3, ..., bn pirmųjų n narių suma Sn apskaičiuojama: Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn. Sumą galima rasti tiesiogiai sudedant narius (tinka, kai n mažas) arba naudojant formules: Sn = (b1 * bn * q - b1) / (q - 1) ir Sn = b1 * (1 - qn) / (1 - q), kur b1 – pirmasis narys, bnn-tasis narys, q – geometrinės progresijos vardiklis, n - narių skaičius. Antroji formulė įrodinėjama pasinaudojant pirma lygtimi ir sąryšiu bn = b1 * qn-1.
Geometrinės progresijos sumos taikymas
Geometrinės progresijos sumos formulė taikoma įvairiems uždaviniams spręsti. Pateikiami pavyzdžiai iliustruoja, kaip apskaičiuoti progresijos sumą, žinant pirmuosius narius, vardiklį, arba kai progresija apibrėžta bendruoju nariu. Taip pat nagrinėjami sudėtingesni atvejai, kai reikia rasti progresijos pirmajį narį ar vardiklį, žinant sumą ir kitus parametrus.
Aritmetinės progresijos sumos formulė
Aritmetinės progresijos pirmųjų \(n\) narių suma (\(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\)) apskaičiuojama naudojant formulę \(S_n = (a_1 + a_n) * n / 2\), arba alternatyvią formulę \(S_n = [2a_1 + (n - 1) * d] * n / 2\), kur '\(d\)' yra progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos sumos radimas naudojant n-ojo nario formulę
Jei yra žinoma aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė (pavyzdžiui, \(a_n = 3n - 2\) arba \(a_n = 7 - 5n\)), galima apskaičiuoti bet kurio nario reikšmę, įskaitant pirmąjį (\(a_1\)) ir paskutinįjį (\(a_n\)) narius, reikalingus sumai apskaičiuoti. Tada taikoma standartinė sumos formulė.

Prisijungti

arba
Real 2
„X“ yra inovatyvi mokymosi platforma, kurios tikslas – teikti aukštos kokybės mokymo medžiagą įvairiausių klasių mokiniams. Patyrusių specialistų parengtas turinys skatina smalsumą, padeda išsamiau ir giliau suprasti mokomus dalykus bei sėkmingai pasiruošti akademiniams iššūkiams.
Atsisiųsk programėlę:
Susisiek su mumis: info@knowledgenestapp.com